1) Factorización
Factorizar un
polinomio
Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible.
Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si a es una raíz de P(x), entonces P(x)=(x-a)·P1(x), así hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible.
Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)
Biblioteca
http://www.ematematicas.net/polinomios.php?ejercicio=factoriza
2) Operaciones con Polinomios
Podemos definir como operaciones
con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo
de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la
operación de que se trate.
Bibliografia
http://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_con_polinomios
3) Suma de Polinomios
Suma de polinomios.
Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.
Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.
Por ejemplo,
consideremos los polinomios
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 + 8x3 = 10x3
-5x2 + 3x2 = -2x3
6 - 4 = 2
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 + 8x3 = 10x3
-5x2 + 3x2 = -2x3
6 - 4 = 2
Bibliografia
http://www.ematematicas.net/polinomios.php
4) Resta de Polinomios
La suma o la resta de dos o más polinomios puede
realizarse sumando o restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden
hacerse en vertical y en horizontal o en fila.
Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios:
P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y
Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x
·
En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se
disponen uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los
términos semejantes:
P(x) = –5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15
Q(x) = 5x3 + 9x2 – 6x –
7
________________________________
–5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22
·
En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre
paréntesis, en orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por
el símbolo de la operación; a continuación se suman o se restan los términos
semejantes:
P(x) + Q(x) = (–5x4
+ 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3
+ 9x2 – 6x – 7) =
= –5x4 +
5x3 + 16x2 – 3x – 22
P(x) – Q(x)
= (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x
– 15) – (5x3 + 9x2 – 6x – 7) =
= –5x4 –
5x3 – 2x2 + 8x – 8
Bibliografia
5) Multiplicación de Polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por
el número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios
que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos
los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los
grados de los polinomios que se multiplican.
Bibliografia
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