FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

1. FACTORES COMÚN (PRIMER CASO)

El factor común es aquel elemento que se repite en una ecuación, esto se entiende mejor mediante ejemplos:

x2+x= x(x+1)

4x+2= 2(2x+1)

se trata de un elemento común en todas las partes el cual puedes sacar fuera y ponerlo como si fuese un producto quedando la misma expresión.

2x+3, aquí no podemos sacar factor común ya que no existe ninguna relación entre los elementos.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre los números)

 8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. 

EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis (¿PORQUE EL 4?). A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:
 8a : 4 = 2a                    este término dió "positivo"

Segundo término:
 -4b : 4 = -b                   este término dió "negativo"

Tercer término:
 16c : 4 = 4c

Cuarto término:
 12d : 4 = 3d              


EJEMPLO 3: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
El factor común es x2 , la menor potencia con que la x aparece en el polinomio.

EXPLICACIÓN:

Aquí estoy sacando factor común x2, porque es la "x" elevada a la menor potencia con que aparece en este polinomio. Luego divido cada término por x2, recordando que para dividir las letras hay que restar los exponentes.

Primer término:
 7x2 : x2 = 7

Segundo término:
 11x3 : x2 = 11x

Tercer término:
 -4x5 : x2 = -4x3

Cuarto término:
 3x4 : x2 = 3x2

Quinto término:
 -x8 : x2 = -x6      


2. FACTOR COMÚN EN GRUPOS (O "SEGUNDO CASO")

En este caso hay cosas comunes pero en distintos grupos, siempre tienen que haber 4 ó más términos pero en número par.También se llama doble factor común porque haces dos veces FC ya que primero aplicas por separado FC para cada grupo y luego lo transformas en un producto al volver a factorizar.
la agrupación puede hacerse generalmente de mas de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Ej.

2y + 2j +3xy + 3xj =

2(2y/2 + 2j/2) + 3x(3xy/3x + 3xj/3x) =
2(y + j) + 3x( y + j) y ahora el FC es (y + j) y vuelvo a aplicar FC

(y + j) (2(y +j)/ (y + j) + 3x(y + j) / (y + j) =

(y + j) (2 + 3x)

EJEMPLO 2:
3m2 – 6mn + 4m – 8n : (3m2 – 6mn ) + ( 4m – 8n )
                                    :3m ( m – 2n) + 4( m – 2n)     : (m – 2) ( 3m + 4)


EXPLICACION:
Los dos primero términos tienen el factor común es 3m y los dos últimos el factor común 4.


EJEMPLO 2:

3m² – 6mn + 4m – 8n : (3m² – 6mn ) + ( 4m – 8n )

                                    :3m ( m – 2n) + 4( m – 2n)              

: (m – 2) ( 3m + 4)

EXPLICACION:

Los dos primero términos tienen el factor común es 3m y los dos últimos el factor común 4. 

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (O "TERCER CASO")

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado

EXPLICACION:

EJEMPLO:

a2 + 2 a b + b2 : (a+b)2

√a2            √b2
 a                 b
   2(a)(b) : 2ab

4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o "Cuarto Caso")

Si en el caso anterior teníamos un trinomio que igualábamos aun binomio elevado al cuadrado; en este caso tendremos un cuadrinomio que igualaremos a un binomio elevado al cubo. Y para lograrlo debemos verificar que dicho cuadrinomio es el desarrollo de la fórmula del cubo de un binomio.

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)
x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

EXPLICACIÓN:

1) Busco dos términos que sean "cubos" o "potencias terceras" (¿qué es un "cubo"?): Son x3 y 8. Porque, es evidente que x3 es "x elevado a la tercera". Y 8 es igual a "2 elevado a a la tercera", ya que 23 = 8.
Bajo entonces las "bases" (¿a qué llamo las "bases"?), que son x y 2.
Nota: El término "6x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos razones: El número 6 no tiene raíz cúbica exacta (¿qué es "raíz cúbica", y "exacta"?), y x2 no es una potencia tercera (¿por qué?). Y el término "12x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número 12 no tiene raíz cúbica exacta, y "x" no es una potencia tercera.
(Los que no pueden ser "cubos")

2) Determinadas ya las dos bases (x y 2), efectúo los dos "triple-productos"
(¿qué es un triple-producto?):
3.x2.2        
(Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base: 3.a2.b)
Lo que dá como resultado: 6x2  (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.x.22
(Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado: 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 12x (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos". (conceptos)

3) El resultado de la factorización es, entonces:
(x + 2)3
O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".

EJEMPLO 2: (Con términos negativos)
x3    -    9x2    +    27x    -    27  = (x - 3)3
x                                       -3
       3.x2.(-3)    3.x.(-3)2
          -9x2         27x
Las bases son  x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3


EXPLICACIÓN:

1) Busco dos términos que sean "cubos" o "potencias terceras" (¿qué es un "cubo"?): Son x3 y -27. Porque, es evidente que x3 es "x elevado a la tercera". Y -27 es igual a "-3 elevado a a la tercera", ya que (-3)3 = -27.  Bajo entonces las "bases" (¿"bases"?), que son x y -3.
El término "-9x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos razónes: El número -9 no tiene raíz cúbica exacta (¿qué es "raíz cúbica", y "exacta"?), y x2 no es una potencia tercera (¿por qué?). Y el término "27x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número 27 no tiene raíz cúbica exacta, y x no es una potencia tercera.
 (Los que no pueden ser "cubos")
2) Determinadas ya las dos bases (x y -3), efectúo los dos "triple-productos":
(¿qué es un triple-producto?)
3.x2.(-3)     ("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base": 3.a2.b)
Lo que dá como resultado: -9x2  (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 - 9x2 + 27x + 27). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.x.(-3)2     ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 27x (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x3 - 9x2 + 27x + 27). "Dió bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos". (conceptos)

3) El resultado de la factorización es, entonces, (x + (-3))3 , que es igual a:
  (x - 3)3
O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".

EJEMPLO 3: (Con todos los términos negativos)
-x3    -   75x    -    15x2    -    125  =  (-x - 5)3
-x                                        -5
    3.(-x)2.(-5)  3.(-x).(-5)2
         -15x2          -75x
Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos.
El resultado de la factorización es (-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.

EXPLICACIÓN:

Para más detalle sobre lo que se hace en cada paso, consultar en las explicaciones de los EJEMPLO 1 y

EJEMPLO 2.

1) Los cubos aquí son -x3 y -125. Porque, -x3 es cubo de -x, ya que (-x)3 dá como resultado -x3. Y -125 es cubo de -5, ya que (-5)3 = -125. Las "bases" son entonces -x y -5.
2) Determinadas ya las dos bases (-x y -5), efectúo los dos "triple-productos":
3.(-x)2.(-5)   ("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base": 3.a2.b)
Lo que dá como resultado: -15x2 (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el tercer término (-x3 - 75x - 15x2 - 125). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.(-x).(-5)2  ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado -75x (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el segundo término (-x3  -  75x  -  15x2  -  125). "Dió bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces, (-x + (-5))3, que es igual a:
(-x - 5)3
O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera"

5) Diferencia de Cuadrados (o "Quinto Caso")

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Factorizar x2 – y2 raices √x2: x  √y2: y Respuesta: (x+y) (x-y)

6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado (o "Sexto Caso")

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:
El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable). 

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares) x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16) x        2   | 1  0  0  0  0  32   |   | -2|   -2  4 -8  16 -32     1 -2  4 -8  16 |0 Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16 Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25. Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini. Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división". Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras. La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales. EJEMPLO 2: (Resta de Potencias Impares) x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4) x     2 Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases. EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares) b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27) b      3 En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases. EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares) x4 + 16 = x4 + 16 En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO 12 un ejemplo de esto. EJEMPLO 5: (Con el "1") x7 + 1 = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1) x     1 No hay que olvidar que el "1" puede ser "cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia. EJEMPLO 6: (Con dos letras) x7 - y7 = (x - y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6) x     y La división por Ruffini se complica un poco en estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número. EJEMPLO 7: (Con fracciones) x6 - 1/64 = (x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32) x     1/2 1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6 es igual a 1/64. 7) "Trinomio de Segundo Grado" (o "Séptimo Caso") (Este caso lo deben Incluir) Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.  EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de "1") 2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2) En este ejemplo, el coeficiente principal es 2. No hay que olvidarse de ponerlo en la factorización. EJEMPLO 2: (Con fracciones) 1/3 x2 - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2) Los coeficientes son fracciones. Eso puede complicar un poco el cálculo de las raíces.