EXPRESIONES ALGEBRAICAS




2) Simplificación
simplificación de expresiones con números reales  


Expresiones Algebraica Racionales - Simplificación+

 

Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta: 
(   1)  k(a + b) = ka + kb
(2) k(a – b) = ka – kb 
Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y otras convendrá lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión. 

I. SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA APLICANDO LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Podemos simplificar una expresión algebraica al convertir un producto en una suma, aplicando la propiedad distributiva.

1. CUANDO EL PRODUCTO ES DE UN NÚMERO POR UN PARÉNTESIS

Ejemplo: queremos simplificar las expresiones A y B que aparecen a continuación; aplicamos la propiedad distributiva en cada producto.

A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24; simplificada: A = - 10x + 26
B = a(a – 7) = a² – 7a

2. CUANDO EL PRODUCTO ES DE DOS PARÉNTESIS 

Usamos una “doble distributiva”, esto es:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd,
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd,
(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd,
(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd

Ejemplo: queremos simplificar las expresiones siguientes:

A = (2x + 5)(x – 4) = 2x² – 8+ 5x – 20; simplificada: A = 2x² - 3x - 20
B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y; simplificada: B = 3y² - 11y + 10
Nota: también podemos usar los desarrollos de los productos notables para simplificar este tipo de expresiones. 

II. EXTRAER O SACAR FACTOR COMÚN EN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Al sacar factor común en una expresión algebraica, convertimos una suma algebraica en un producto.

Por ejemplo: ka + kb = k(a + b) o ka – kb = k( b

En ambos casos hemos extraído el factor k que se repite en cada grupo de sumandos. k recibe el nombre de factor común.
Este factor común puede ser un número, una letra, el producto de un número y una letra, el producto de dos letras o una expresión entre paréntesis.
El factor común puede estar visible u oculto. Si está oculto, debemos averiguarlo.

1. EL FACTOR COMÚN ESTÁ VISIBLE

Veamos algunos ejemplos.

5x – 5a + 5b = 5(x – a + b); el factor común es 5.
x² – 3x = x( 3); el factor común es x.
(x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5+ 1)]; el factor común es (+ 2).

Simplificando: (+ 2)(9x - 4).

(3x – 4)² – (3x – 4)(2x + 7) = (3x – 4)[(3x – 4) – (2x+7)]; el factor común es
(3x – 4).

Simplificando: (3x - 4)(x - 11).

2. EL FACTOR COMÚN ESTÁ OCULTO
Veamos algunos ejemplos.
A = 10a – 8= 2(5a – 4b)
B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)
B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2+ 3)(7+ 8); el factor común es (2x + 3).
B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)]; y simplificando: B = (2x + 3)(4x - 3 - 14x - 16) = (2x + 3)(- 10x - 19)
3) Multiplicación
MULTIPLICACION ALGEBRAICA

Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.
(+) (+) = +
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -

Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n
Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz

Pero en el algebra se obedece también la ley de los coeficientes.

Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.
(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término

Reglas:
Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del multiplicador.

Se suman los exponentes de las literales iguales.

Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado.

Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.

Cuando existen multiplicación más de dos monomios resulta sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener el resultado.

Ejemplos:

(5)(x): 5x                                            se multiplica 5 * “x” queda indicado el producto
(5y)(6x):30xy                                    se multiplica los números y las letras para formar un todo 5*6*x*y: 30xy
(3x)(6x2 ):3 * 6 * x1+2 : 18x3              se multiplica los números y se suman los exponentes iguales
(2x)(-y)(x) :-2x 1+1 y : 2x2 y               se usa criterio de signos +-+:-, se suman exponentes de bases iguales y se indican multiplicaciones de bases diferentes

En el último ejemplo se multiplican primero los dos primeros factores entre si, sin tocar el resto, luego se multiplica este resultado por el tercer factor, por último se multiplicó este segundo resultado por el cuarto factor obteniéndose el resultado final.

Multiplicación de monomios con polinomios

Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio
Reglas:

Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.
Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente
Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos:

5(x+y):5x+5y                                     se multiplica por “x” para obtener 5x
                                                           Se multiplica por “y” para obtener 5y
-7(x+y):-7x-7y                                   se multiplica -7 por “x” para obtener -7x
                                                           Se multiplica -7 por “y” para obtener -7y
(2x)(7x+6z-9) :14x2+12xz-18x       se multiplica 2x por cada factor en el paréntesis multiplicando cada numero por cada numero y agregando la x donde sea necesario

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero.

Reglas:

Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.
Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente
Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos

(X+y) (5x-y) :5x2-xy+5xy-y2 :5x2 +4xy– y2
Se multiplica “x” por cada factor del paréntesis de la derecha.
Luego se multiplica y por cada factor del paréntesis de la derecha.
Se suman los términos semejante.

Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es planteándolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos semejantes.

4) División Expresiones  Algebraicas 

De Monomio entre Monomio






5) Sumas y Restas


Bibliografia 

http://www.youtube.com/watch?v=n0B9wNSZEDI

 Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales.  Los pasos para hacer las suma son:
Paso 1: Elimine los paréntesis
Paso 2. Agrupe términos semejantes
Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.
Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.
Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:
(X3+2x2-5x+7)-(4x3-5x2+3)

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del paréntesis por uno positivo.
-(4x3-5x2+3) : +-(4x3+5x2-3)
 Paso 2: Elimine  los paréntesis.  Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis.
Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.
Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.


 BIBLIOGRAFIA:

http://quiz.uprm.edu/tutorials/ea/ea_home.html 






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