2) Simplificación
simplificación de expresiones con números reales
Expresiones Algebraica Racionales - Simplificación+
Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone
aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la
resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y
la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta:
( 1) k(a + b) = ka + kb
(2) k(a – b) = ka – kb
(2) k(a – b) = ka – kb
Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y
otras convendrá lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión.
I.
SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA APLICANDO LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Podemos
simplificar una expresión algebraica al convertir un producto en una suma,
aplicando la propiedad distributiva.
1.
CUANDO EL PRODUCTO ES DE UN NÚMERO POR UN PARÉNTESIS
Ejemplo:
queremos simplificar las expresiones A y B que
aparecen a continuación; aplicamos la propiedad distributiva en cada producto.
A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24;
simplificada: A = - 10x + 26
B = a(a – 7) = a² – 7a
B = a(a – 7) = a² – 7a
2. CUANDO EL PRODUCTO ES DE
DOS PARÉNTESIS
Usamos una “doble distributiva”, esto es:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd,
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd,
(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd,
(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd.
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd,
(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd,
(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd.
Ejemplo: queremos
simplificar las expresiones siguientes:
A = (2x + 5)(x – 4) = 2x² – 8x + 5x – 20;
simplificada: A = 2x² - 3x - 20
B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y; simplificada: B = 3y² - 11y + 10
B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y; simplificada: B = 3y² - 11y + 10
Nota: también podemos
usar los desarrollos de los productos notables para simplificar este tipo de
expresiones.
II.
EXTRAER O SACAR FACTOR COMÚN EN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Al sacar factor común
en una expresión algebraica, convertimos una suma algebraica en un producto.
Por ejemplo: ka + kb = k(a + b)
o ka – kb = k(a – b)
En ambos casos hemos extraído el factor k que
se repite en cada grupo de sumandos. k recibe el nombre de factor común.
Este factor común
puede ser un número, una letra, el producto de un número y una letra, el
producto de dos letras o una expresión entre paréntesis.
El factor común
puede estar visible u oculto. Si está oculto, debemos averiguarlo.
1. EL FACTOR COMÚN ESTÁ
VISIBLE
Veamos algunos ejemplos.
5x – 5a + 5b = 5(x – a + b);
el factor común es 5.
x² – 3x = x(x – 3); el factor común es x.
(x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5x + 1)]; el factor común es (x + 2).
x² – 3x = x(x – 3); el factor común es x.
(x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5x + 1)]; el factor común es (x + 2).
Simplificando: (x + 2)(9x - 4).
(3x – 4)² – (3x – 4)(2x + 7) = (3x – 4)[(3x – 4) – (2x+7)];
el factor común es
(3x – 4).
Simplificando: (3x - 4)(x -
11).
2. EL FACTOR COMÚN ESTÁ OCULTO
Veamos algunos ejemplos.
A = 10a – 8b = 2(5a – 4b)
B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)
B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2x + 3)(7x + 8); el factor común es (2x + 3).
B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)]; y simplificando: B = (2x + 3)(4x - 3 - 14x - 16) = (2x + 3)(- 10x - 19)
A = 10a – 8b = 2(5a – 4b)
B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)
B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2x + 3)(7x + 8); el factor común es (2x + 3).
B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)]; y simplificando: B = (2x + 3)(4x - 3 - 14x - 16) = (2x + 3)(- 10x - 19)
3) Multiplicación
MULTIPLICACION ALGEBRAICA
Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son
Ley de signos: el resultado es
negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es
positivo.
(+) (+) = +
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -
Ley de exponentes: el producto de dos
o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las
potencias.
(xm) (xn) = xm + n
Ley conmutativa: el orden de los
factores no altera el producto
(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x)
(y) = xyz
Pero en el algebra se obedece también
la ley de los coeficientes.
Ley de los coeficientes: el
coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al
producto de los coeficientes de los factores.
(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy
MULTIPLICACIÓN
DE MONOMIOS
Se le llama multiplicación de monomios
a la multiplicación de un solo término por otro término
Reglas:
Se multiplica él termino del
multiplicando por él termino del multiplicador.
Se suman los exponentes de las
literales iguales.
Se escriben las literales diferentes
en un solo término resultado.
Se coloca el signo de acuerdo con las
reglas de los signos vistas anteriormente.
Cuando existen multiplicación más de
dos monomios resulta sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener
el resultado.
Ejemplos:
(5)(x): 5x se
multiplica 5 * “x” queda indicado el producto
(5y)(6x):30xy se
multiplica los números y las letras para formar un todo 5*6*x*y: 30xy
(3x)(6x2 ):3 * 6 * x1+2
: 18x3 se
multiplica los números y se suman los exponentes iguales
(2x)(-y)(x) :-2x 1+1 y : 2x2 y
se usa criterio de signos +-+:-,
se suman exponentes de bases iguales y se indican multiplicaciones de bases
diferentes
En el último ejemplo se multiplican
primero los dos primeros factores entre si, sin tocar el resto, luego se multiplica
este resultado por el tercer factor, por último se multiplicó este segundo
resultado por el cuarto factor obteniéndose el resultado final.
Multiplicación de monomios con
polinomios
Se le llama
multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra
multiplicando a un polinomio
Reglas:
Se multiplica el
término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de
las literales iguales.
Se coloca el signo de
acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente
Se encuentra la suma
algebraica de los productos parciales.
Ejemplos:
5(x+y):5x+5y se
multiplica por “x” para obtener 5x
Se multiplica por “y”
para obtener 5y
-7(x+y):-7x-7y se multiplica -7 por “x” para obtener -7x
Se multiplica -7 por “y”
para obtener -7y
(2x)(7x+6z-9) :14x2+12xz-18x se multiplica 2x por cada factor en el paréntesis
multiplicando cada numero por cada numero y agregando la x donde sea necesario
MULTIPLICACIÓN DE
POLINOMIOS
La multiplicación de
polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso
se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un
polinomio, un número o cero.
Reglas:
Se multiplica cada
término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de
las literales iguales.
Se coloca el signo de
cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas
anteriormente
Se encuentra la suma
algebraica de los productos parciales.
Ejemplos
(X+y) (5x-y) :5x2-xy+5xy-y2
:5x2 +4xy– y2
Se multiplica “x” por
cada factor del paréntesis de la derecha.
Luego se multiplica y
por cada factor del paréntesis de la derecha.
Se suman los términos
semejante.
Como puede verse en el
segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es
planteándolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y
sumando términos semejantes.
4) División Expresiones Algebraicas
De Monomio entre Monomio
5) Sumas y Restas
Bibliografia
http://www.youtube.com/watch?v=n0B9wNSZEDI
Suma: Sumamos
términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y
exponentes sean iguales. Los pasos para
hacer las suma son:
Paso 1: Elimine los
paréntesis
Paso 2. Agrupe términos
semejantes
Paso 3. Sume y reste los
términos semejantes.
Resta: Funciona
igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del
los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.
Ejemplo: Resta los
siguientes polinomios:
(X3+2x2-5x+7)-(4x3-5x2+3)
Paso 1: Si un paréntesis
tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del
paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se
encuentra antes del paréntesis por uno positivo.
-(4x3-5x2+3)
: +-(4x3+5x2-3)
Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que
están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el
signo + que entre los dos paréntesis.
Paso 3: Agrupe los términos
semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.
Paso 4: Sume y reste los
términos semejantes.
BIBLIOGRAFIA:
http://quiz.uprm.edu/tutorials/ea/ea_home.html
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